Kiến trúc của các phương trình vi phân cấp cao hơn
Một phương trình vi phân tuyến tính cấp $n$ được đặc trưng bởi đạo hàm bậc cao nhất. Chúng ta xác định dạng tổng quát là Phương trình (1):
$$P_0(t) \frac{d^n y}{dt^n} + P_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + P_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + P_n(t)y = G(t)$$ (1)
Để thuận tiện cho phân tích lý thuyết, ta thường chuẩn hóa phương trình này bằng cách chia cho $P_0(t)$, giả sử nó khác 0 trên khoảng đang xét. Điều này dẫn đến Dạng chuẩn (Phương trình 2):
$$L[y] = \frac{d^n y}{dt^n} + p_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + p_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + p_n(t)y = g(t)$$ (2)
Ký hiệu toán tử và hệ số hằng số
Độ phức tạp của $n$ đạo hàm được cô đọng vào một toán tử tuyến tính duy nhất $L$. Khi các hệ số là hằng số ($a_n$), biểu thức được đơn giản hóa thành:
$L[y] = a_0y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}y' + a_ny = g(t)$
Ký hiệu này nhấn mạnh rằng $L$ hoạt động tuyến tính: $L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$. Nguyên lý này đảm bảo rằng nghiệm tổng quát được tạo thành từ một nghiệm bù ($y_c$) và một nghiệm riêng ($Y$).
Xem xét Hình 4.2.4: Một hệ gồm hai lò xo và hai khối với khối lượng $m_1, m_2$ và độ dịch chuyển $u_1, u_2$. Vật lý học đưa ra hai phương trình cấp hai có liên hệ lẫn nhau. Bằng cách tách riêng $u_1$ thông qua thế, ta thu được một phương trình cấp bốn phương trình. Để giải phương trình này, ta cần bốn điều kiện ban đầu (vị trí và vận tốc cho mỗi khối) để tìm ra một đường đi vật lý duy nhất.
Ví dụ minh họa: Nghiệm của phương trình thuần nhất
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: $y''' - y'' - y' + y = 0$
Giả sử $y = e^{rt}$. Thay vào phương trình vi phân ta được: $r^3 - r^2 - r + 1 = 0$.
Phân tích theo nhóm: $r^2(r - 1) - 1(r - 1) = 0 \implies (r^2 - 1)(r - 1) = 0$.
Biểu thức này khai triển thành $(r - 1)(r + 1)(r - 1) = (r - 1)^2(r + 1) = 0$.
Các nghiệm là $r = 1$ (bội số 2) và $r = -1$. Vì $r=1$ lặp lại, ta nhân hạng thứ hai với $t$.
$y_c(t) = c_1e^t + c_2te^t + c_3e^{-t}$